Question

16、若1，2，3，4，5的排列a₁，a₂，a₃，a₄，a₅具有性质：对于1≤i≤4，a₁，a₂…a_i不构成1，2，…，i的某个排列，则这种排列的个数是

70

．

Answer 1

分析：将5个数的所有的排法利用排列求出；将不具有性质：对于1≤i≤4，a₁，a₂…a_i不构成1，2，…，i的某个排列的排列通过分类讨论的方法求出；利用总的排法减去不具有性质的排法，求出值．

解答：解：1、总的排列数有A₅⁵种，用排除法
2、考虑对于1≤i≤4，a1，a2，…ai为1，2，…i的某个排列的情况：
①当 i=4 时
即 a1 a2 a3 a4 为1，2，3，4的某个排列，a5=5，共有A₄⁴种可能
②当 i=3 时
即 a1 a2 a3为1，2，3的某个排列，此处要考虑重复问题．即a5 必须不为5，否则会和 i=4  时重复．故a4=5，a5=4，a1 a2 a3任意排列，有 A₃³种可能
③当 i=2 时，a5 不为5，a3不为3（否则和i=3重复），有
a3=5时，a1，a2 为1，2 的任意排列，a4，a5为3，4的任意排列，故有A₂²×A₂²=4种排列
a4=5，a5=3，a3=4，此时有A₂²=2种
故 i=2时共有6种情况
④当 i=1 时，a1=1，此时要满足以下条件：
1、a2 不为 2
2、a2=3 时，a3 不能为2（与i=3重复）
3、a5 必须不为5，否则将和i=4重复
这样排列出来情况如下：
a2=5，A₃³种
a3=5，a2 不为2，有4种情况
a4=5，a5必须为2或3之间的一个，共2A₂²种
因而i=1时共有 14种情况
到此，结果就出来了：A₅⁵-A₄⁴-A₃³-6-14=70
故答案为：70

点评：本题考查利用排列求完成事件的方法数、考查间接的方法求完成事件的方法数、考查分类讨论的数学思想方法．