Question

若1，2，3，4，5这五个数的任意一个全排列a₁，a₂，a₃，a₄，a₃满足：a₁＜a₂，a₂＞a₃，a₃＜a₄，a₄＞a₃则这样的排列的总个数是（ ）
A．12
B．14
C．16
D．18

Answer 1

【答案】分析：分类讨论①若a₁，a₃，a₅取集合{1，2，3}中的元素，a₂，a₄取集合{4，5}中的元素；a₁，a₃，a₅取集合{1，2，4}中的元素，a₂，a₄取集合{3，5}中的元素，从而可得结论．
解答：解：满足a₁＜a₂，a₂＞a₃，a₃＜a₄，a₄＞a₅的排列中，
若a₁，a₃，a₅取集合{1，2，3}中的元素，a₂，a₄取集合{4，5}中的元素，都符合要求，有A₃³A₂²=12个．
若a₁，a₃，a₅取集合{1，2，4}中的元素，a₂，a₄取集合{3，5}中的元素，这时符合要求的排列只有1，3，2，5，4；2，3，1，5，4；4，5，1，3，2；4，5，2，3，1共4个．
所以，满足：a₁＜a₂，a₂＞a₃，a₃＜a₄，a₄＞a₃的排列的总个数是12+4=16个
故选C．
点评：本题考查排列知识的运用，考查分类讨论的数学思想，考查列举法的运用，属于中档题．