Question

如果样本点只有两个，那么用最小二乘法得出的线性回归方程与用两点式求出的直线方程是否一致？并证明你的结论．

Answer 1

分析：利用线性回归方程的求法和两点式即可得出结论．

解答：解：是一致的．
设样本点为（x₁，y₁），（x₂，y₂）．
由回归方程的系数公式可得：

b

=

x1y1+x2y2-2 x1+x2 2 × y1+y2 2

x 2 1 + x 2 2 -2( x1+x2 2 )2

=

y2-y1

x2-x1

，

a

=

.

y

-

b

.

x

=

y1+y2

2

-

y2-y1

x2-x1

×

x1+x2

2

=

y1x2-y2x1

x2-x1

．
故回归方程为

y

=

y2-y1

x2-x1

x+

y1x2-y2x1

x2-x1

．
由两点（x₁，y₁），（x₂，y₂）确定的直线方程为

y-y1

y2-y1

=

x-x1

x2-x1

，
变形为y=

y2-y1

x2-x1

x+

y1x2-y2x1

x2-x1

．
因此当样本点只有两个，用最小二乘法得出的线性回归方程与用两点式求出的直线方程是一致的．

点评：熟练掌握线性回归方程的求法和两点式是解题的关键．