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若曲线y=f(x)上存在三点A,B,C,使得
AB
=
BC
,则称曲线有“中位点”,下列曲线
(1)y=cosx,(2)y=
1
x
,(3)y=x3+x2-2,(4)y=x3有“中位点”的是(  )
A、(2)(4)
B、(1)(3)(4)
C、(1)(2)(4)
D、(2)(3)(4)
分析:由“中位点”的意义,若给出的曲线是中心对称图形且对称中心在图象上,则此曲线一定有“中位点”,而据此可判断(1)(3)(4)满足.(2)曲线虽然是中心对称图形,但是对称中心不在曲线上,且分别在(-∞,0),(0,+∞)上具有单调性,曲线没有有“中位点”.
解答:解:由“中位点”的意义,若给出的曲线是中心对称图形且对称中心在图象上,则此曲线一定有“中位点”,而(1)(3)(4)都是中心对称图形,且对称中心也在图象上,因此曲线(1)(3)(4)都有“中位点”.
(2)曲线虽然是中心对称图形,但是对称中心不在曲线上,且分别在(-∞,0),(0,+∞)上具有单调性,因此不满足:曲线y=f(x)上存在三点A,B,C,使得
AB
=
BC
,即曲线没有有“中位点”.
综上可知:只有(1)(3)(4)曲线上有有“中位点”.
故选:B.
点评:本题考查了新定义、具有中心对称图形且对称中心在图象上的曲线的性质,属于难题.
练习册系列答案
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科目:高中数学 来源: 题型:

已知二次函数y=g(x)的导函数的图象与直线y=2x平行,且y=g(x)在x=-1处取得极小值m-1(m≠0).设f(x)=
g(x)
x

(1)若曲线y=f(x)上的点P到点Q(0,2)的距离的最小值为
2
,求m的值;
(2)k(k∈R)如何取值时,函数y=f(x)-kx存在零点,并求出零点.

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g(x)
x
.若曲线y=f(x)上的点P到点Q(0,2)的距离的最小值为
2
,求m的值.

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g(x)
x

(Ⅰ)若曲线y=f(x)上的点P到点Q(0,-2)的距离的最小值为
2
,求m的值;
(Ⅱ)若m=1,方程f(|2x-1|)+k(
2
|2x-1|
-3)=0
有三个不同的实数解,求实数k的范围.

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科目:高中数学 来源: 题型:

若曲线y=f(x)上存在三点A,B,C,使得
AB
=
BC
,则称曲线有“好点”,下列曲线(1)y=cosx,(2)y=
1
x
,(3)y=x3+x2-2,(4)y=lnx  (5)y=x3有“好点”的曲线个数是
3
3

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