Question

(2007成都模拟)已知函数f(x)=xln x．

(1)求函数f(x)的单调区间和最小值；

(2)当b＞0时，求证:(其中e=2.71828…是自然对数的底数)；

(3)若a＞0，b＞0，证明：f(a)＋(a＋b)ln2≥f(a＋b)－f(b).

Answer 1

答案：略
解析：

解析：(1)∵(x＞0)，令，即． ∵e=2.71828…＞1，∴y=lnx在区间(0，＋∞)上是单调递增函数． ∴．∴．同理，令可得． ∴f(x)的单调递增区间为，f(x)的单调递减区间为． 由此可知． (2)由(1)可知当b＞0时， 有，∴， 即． ∴． (3)将变形，得， 即证 设函数g(x)=f(x)＋f(k－x)(k＞0)． ∵f(x)=xlnx， ∴g(x)=xlnx＋(k－x)ln(k－x)， ∴0＜x＜k． ∵，令， 则有． ∴函数g(x)在上单调递增，在上单调递减． ∴函数g(x)的最小值为，即总有． 而， ∴， 即． 令x=a，k－x=b，则k=a＋b． ∴． ∴．