Question

命题P：方程

x2

k-2

+

y2

k-1

=1表示双曲线，命题q：不等式x²-2x+k²-1＞0对一切实数x恒成立．
（1）求命题P中双曲线的焦点坐标；
（2）若命题“p且q”为真命题，求实数k的取值范围．

Answer 1

（1）因为k-1＞k-2，所以a²=k-1，b²=k-2…（2分）
所以c²=1，且焦点在y轴上，…（4分）
所以双曲线的焦点坐标为（0，±1）．…（6分）
（2）命题p：（k-2）（k-1）＜0，1＜k＜2；…（8分）
命题q：△=4-4（k²-1）＜0，k＜-

2

或k＞

2

．…（10分）
因为命题“p且q”为真命题，所以

1＜k＜2 k＜- 2 或k＞ 2

即

2

＜k＜2．…（14分）
（注：若第（1）问分类讨论答案对也算对）