试题分析:(Ⅰ)由题意知,函数
是奇函数,利用奇函数的定义可求出
,由函数
在
处取得极小值为
,可得
,
,进而求出在
,一般地,多项式函数为奇函数,则偶次项系数为0,连续可导的函数在某点处取得极值,则该点处导数为0,但连续可导的函数在某点处导数为0,则该处不一定取得极值,所以用以上方法求出函数解析式后,还需进行验证;(Ⅱ)函数在某区间上是单调函数,则导函数在该区间上导数大于等于0恒成立,所以问题又转化为不等式恒成立问题,本题导函数是二次函数,其恒成立问题可用判别式判断,也可分离参数转化为最值问题.
试题解析:(Ⅰ)因为
的图象关于原点对称,所以有即
, 1分
所以
,
所以
,
所以
3分
由
,依题意,
,
,
解之,得
6分
经检验符合题意 7分
故所求函数的解析式为
.
(Ⅱ)当
时,
,
,
因为
是
上的单调函数,所以
恒成立,
即
恒成立 8分
即
成立,所以
12分