Question

若方程|-x²+4x-3|=kx有三个实数解，求k的值．

Answer 1

考点：函数的零点与方程根的关系

专题：计算题,数形结合,函数的性质及应用

分析：方程|-x²+4x-3|=kx有三个实数解，即为函数y=|-x²+4x-3|和y=kx的图象有三个交点．在同一直角坐标系中，作出函数y=|-x²+4x-3|和y=kx的图象，通过直线的旋转，观察当直线和曲线相切时成立，设出切点，运用导数，求出切线的斜率，解方程即可得到k．

解答： 解：方程|-x²+4x-3|=kx有三个实数解，
即为函数y=|-x²+4x-3|和y=kx的图象有三个交点．
在同一直角坐标系中，作出函数y=|-x²+4x-3|和y=kx的图象，
通过图象观察可得，当直线y=kx绕着原点旋转至与曲线
在1＜x＜3的图象相切时，有三个交点．
设切点为（m，n），则y=-x²+4x-3的导数为y′=-2x+4，
则有k=-2m+4，n=km，n=-m²+4m-3，
解得，m=

3

∈（1，3），-

3

舍去，
即有k=4-2

3

．

点评：本题考查函数和方程的转化思想，考查导数的几何意义，考查运算能力，属于中档题和易错题．