Question

△ABC中，cosB为sinA，sinC的等比中项，sinB为cosA，cosC的等差中项，则∠B等于

 

．

Answer 1

考点：等差数列与等比数列的综合

专题：等差数列与等比数列,解三角形

分析：由等比中项的性质得cos²B=sinAsinC，由余弦定理得cosB=

a2+c2-b2

2ac

，由正弦定理化为cosB=

sin2A+sin2C-sin2B

2cos2B

并化为整式，由等差中项的性质得2sinB=cosA+cosC，两边平方后由平方关系、诱导公式、两角和的余弦公式进行化简，并全部转成cosB形式，再因式分解结合内角的范围求出cosB的值，即可求出角B．

解答： 解：因为△ABC中，cosB为sinA，sinC的等比中项，所以cos²B=sinAsinC，
由余弦定理得，cosB=

a2+c2-b2

2ac

=

sin2A+sin2C-sin2B

2sinAsinC

=

sin2A+sin2C-sin2B

2cos2B

，
所以sin²A+sin²C=2cos³B+sin²B，①
因为sinB为cosA，cosC的等差中项，所以2sinB=cosA+cosC，
则4sin²B=cos²A+cos²C+2cosAcosC，
cos²A+cos²C=4sin²B-2cosAcosC，
所以sin²A+sin²C=2-4sin²B+2cosAcosC
代入①得，2-4sin²B+2cosAcosC=2cos³B+sin²B
则5sin²B=2+2cosAcosC-2cos³B，②
又-cosB=cos（A+C）=cosAcosC-sinAsinC，
则cosAcosC=-cosB+sinAsinC=-cosB+cos²B，
代入②得，5sin²B=2-2cosB+2cos²B-2cos³B
全部转成cosB形式：2cos³B-7cos²B+2cosB+3=0，
则2cos³B-2cos²B-（5cos²B-2cosB-3）=0，
因式分解得：（cosB-3）（2cosB+1）（cosB-1）=0，
解得cosB=3或1或-

1

2

，
又0°＜B＜180°，则cosB=-

1

2

，所以cosB=120°，
故答案为：120°．

点评：本题考查等比、等差中项的性质，平方关系、诱导公式、两角和的余弦公式，考查化简、整合、变形能力，难度较大，需要熟练掌握公式和较强的逻辑思维能力．