Question

设f（x）是定义在[-1，1]上的偶函数，g（x）的图象与f（x）的图象关于直线x=1对称，且当x∈[2，3]时，g（x）=2a（x-2）-4（x-2）³．
（1）求f（x）的解析式；
（2）若f（x）在（0，1]上为增函数，求a的取值范围；
（3）是否存在正整数a，使f（x）的图象的最高点落在直线y=12上？若存在，求出a的值；若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析：（1）根据题中g（x）的解析式以及题中已知条件便可求出函数f（x）的解析式；
（2）先求出函数f（x）的导数f'（x），在（0，1]区间内令f'（x）＞0即可求出a的取值范围；
（3）存在，令f'（x）＞0，即可求出a的取值范围，便可知0＜a≤6不符合题意，当a＞6时[f（x）]_max=f（1）=2a-4-12，即可求出满足题意的a的值．

解答：解：（1）当x∈[-1，0]时，2-x∈[2，3]，f（x）=g（2-x）=-2ax+4x³；
当x∈（0，1]时，f（x）=f（-x）=2ax-4x³，
∴f(x)=

-2ax+4x3，-1≤x≤0 2ax-4x3，0＜x≤1.

（2）由题设知，f'（x）＞0对x∈（0，1]恒成立，
即2a-12x²＞0对x∈（0，1]恒成立，
于是，a＞6x²，
从而a＞（6x²）_max=6．
（3）因为f（x）为偶函数，故只需研究函数f（x）=2ax-4x³在x∈（0，1]的最大值．
令f'（x）=2a-12x²=0，
解得x=

a 6

．
①若

a 6

∈（0，1]，即0＜a≤6，
则[f(x)]max=f(

a 6

)=2a×

a 6

-4(

a 6

)3＜2a×

a 6

≤12，
故此时不存在符合题意的a；
②若

a 6

＞1，即a＞6，
则f（x）在（0，1]上为增函数，
于是[f（x）]_max=f（1）=2a-4．
令2a-4=12，故a=8．
综上，存在a=8满足题设．

点评：本题通过函数的知识来切入到导数，考查了利用导数求函数的单调性以及闭区间的最值问题，考查了学生的逻辑思维能力与推理能力，函数及导数的应用是数学的难点，也是高考的热点，属于中档题．