Question

已知f（x）=x|x-a|-2．
（1）若f（1）≤1，求a的取值范围；
（2）若a＞0，求f（x）的单调区间；
（3）若当x∈[0，1]时，恒有f（x）＜0，求实数a的取值范围．

Answer 1

分析：（1）f（1）≤1，即|1-a|-2≤1，即|a-1|≤3，故有-3≤a-1≤3，由此求得a的取值范围．
（2）由于 f（x）=x|x-a|-2=

x2-ax-2=(x- a 2 )2-2- a2 4  ， x＞a -x2+ax -2 =-(x- a 2 )2 -2+   a2 4  ，x ≤a

，从而求得f（x）的单调区间．
（3）x=0时，f（x）=-2＜0成立； 由于当x∈（0，1]时，恒有f（x）＜0，可得|x-a|＜

2

x

，a∈(x-

2

x

，x+

2

x

)，令g(x)=x-

2

x

，h(x)=x+

2

x

，则g（x）_max＜a＜h（x）_min ，再由 g（x）在（0，1]单调增，h（x）在（0，1]单调减，可得g（1）＜a＜h（1），由此求得求实数a的取值范围．

解答：解：（1）f（1）≤1，即|1-a|-2≤1，即|1-a|≤3，即|a-1|≤3，∴-3≤a-1≤3．
解得-2≤a≤4，故a的取值范围为[-2，4]．
（2）由于 f（x）=x|x-a|-2=

x2-ax-2=(x- a 2 )2-2- a2 4  ， x＞a -x2+ax -2 =-(x- a 2 )2 -2+   a2 4  ，x ≤a

，
故函数f（x）的单调增区间为(-∞，

a

2

)，(a，+∞)，单调减区间为(

a

2

，a)．
（3）x=0时，f（x）=-2＜0成立；  由于当x∈（0，1]时，恒有f（x）＜0，故x|x-a|＜2，∴|x-a|＜

2

x

，
∴-

2

x

＜a-x＜

2

x

，∴x-

2

x

＜a＜x+

2

x

，∴a∈(x-

2

x

，x+

2

x

)．
令g(x)=x-

2

x

，h(x)=x+

2

x

，则g（x）_max＜a＜h（x）_min，再由 g（x）在（0，1]单调增，h（x）在（0，1]单调减，
∴g（1）＜a＜h（1），
∴a∈（-1，3）．

点评：本题主要考查带有绝对值的函数，函数的恒成立问题，属于中档题．