Question

已知f（x）是定义在R上的奇函数，当x≥0时，f（x）=x²-kx³．（k≥0）
（Ⅰ）求g（x）的解析式；
（Ⅱ）讨论函数f（x）在区间（-∞，0）上的单调性；
（Ⅲ）若k=

1

3

，设g（x）是函数f（x）在区间[0，+∞）上的导函数，问是否存在实数a，满足a＞1并且使g（x）在区间[

1

2

，a]上的值域为[

1

a

，1]，若存在，求出a的值；若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析：（Ⅰ）先设x＜0，得-x＞0，再利用七函数的定义f（x）=-f（-x）求出x＜0时对应的解析式，再与已知相结合即可求整个函数的解析式；
（Ⅱ）先由（Ⅰ）知当x∈（-∞，0）时，f（x）=-x²-kx³，求出其导函数以及导函数为0的根，利用导函数值的正负和原函数的关系即可判断出函数的性；
（Ⅲ）先把k=

1

3

代入求出g（x）=-（x-1）²+1，再利用二次函数在闭区间上的最值问题的求法与条件相结合得x=1时g（x）取得最大值1，最后利用最小值即可求出a的值．

解答：解：（Ⅰ）∵f（x）是定义在R上的奇函数，当x≥0时，f（x）=x²-kx³
∴当x＜0时，-x＞0，f（x）=-f（-x）=-（x²+kx³）
∴f(x)=

x2-kx3(x≥0) -x2-kx3(x＜0)

（Ⅱ）由（Ⅰ）知当x∈（-∞，0）时，f（x）=-x²-kx³
当k=0时，f'（x）=-2x，在区间（-∞，0）上，f'（x）＞0，f（x）是增函数．
当k≠0∴f′(x)=-2x-kx2，令f′(x)=-2x-kx2=0得x=-

2

3k

或x=0
∴在区间(-∞，-

2

3k

)上，f′(x)＜0，f(x)是减函数；
在区间（-

2

3k

，0）上，f'（x）＞0，f（x）是增函数．
（Ⅲ）∵k=

1

3

，当x≥0时，f(x)=x2-

1

3

x3
∴g（x）=f'（x）=2x-x²=-（x-1）²+1，
又∵a＞1．
∴g(x)在区间[

1

2

，a]上，当x=1时g（x）取得最大值1
当1＜a≤

3

2

时，g(x)min=g(

1

2

)=

3

4

，由

3

4

=

1

a

得：a=

4

3．

当a＞

3

2

时，g(x)min=g(a)=2a-a2，
由2a-a2=

1

a

解得：a=

1+ 5

2

或a=

1- 5

2

（舍）或a=1（舍）
∴存在满足题意的实数a=

4

3

或a=

1+ 5

2

．

点评：本题主要考查函数的奇偶性与单调性以及二次函数在不固定闭区间上的最值问题，二次函数在不固定闭区间上的最值问题，一般是根据对称轴和闭区间的位置关系来进行分类讨论，如轴在区间左边，轴在区间右边，轴在区间中间，最后在综合归纳得出所需结论