Question

已知数列{a_n}满足a1+

a2

2

+…+

an

n

=2n-1(n∈N*)．
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）设bn=

n(2n-1)

an

(n∈N*)，数列{b_n}的前n项和为S_n，若对于一切n∈N^*，S_n＜M恒成立，试求最小的正整数M的值．

Answer 1

分析：（1）由数列{a_n}满足a1+

a2

2

+…+

an

n

=2n-1(n∈N*)，知a1+

a2

2

+…+

an-1

n-1

=2^n-1-1，由此能求出数列{a_n}的通项公式．
（2）由an=n•2n-1，n∈N*，知bn=

n(2n-1)

an

(n∈N*)=

n(2n-1)

n•2n-1

=

2n-1

2n-1

，故S_n=b₁+b₂+…+b_n=1+

3

2

+

5

4

+…+

2n-3

2n-2

+

2n-1

2n-1

，由裂项求和法得到S_n=3-

4n-6

2n

．故（S_n）_max=S₁=3-

4-6

2

=4，对于一切n∈N^*，S_n＜M恒成立，等价于M＞（S_n）_max=4，由此能求出最小的正整数M的值．

解答：解：（1）∵数列{a_n}满足a1+

a2

2

+…+

an

n

=2n-1(n∈N*)，
∴a1+

a2

2

+…+

an-1

n-1

+

an

n

=2ⁿ-1，①
a1+

a2

2

+…+

an-1

n-1

=2^n-1-1，②
①-②，得

an

n

=2n-1，
∴an=n•2n-1．
验证n=1时，a_n=1，成立，
∴数列{a_n}的通项公式an=n•2n-1，n∈N*．
（2）∵an=n•2n-1，n∈N*，
∴bn=

n(2n-1)

an

(n∈N*)=

n(2n-1)

n•2n-1

=

2n-1

2n-1

，
∴S_n=b₁+b₂+…+b_n=1+

3

2

+

5

4

+…+

2n-3

2n-2

+

2n-1

2n-1

，①

1

2

Sn=

1

2

+

3

4

+

5

8

+…+

2n-3

2n-1

+

2n-1

2n

，②
①-②，得

1

2

Sn=

1

2

+

2

4

+

2

8

+…+

2

2n-1

-

2n-1

2n

=

1

2

+2×

1 4 (1- 1 2 n-2 )

1- 1 2

-

2n-1

2n

=

1

2

+1-

1

2 n-2

-

2n-1

2n

．
∴S_n=3-

8

2 n

-

4n-2

2 n

=3-

4n-6

2n

．
∴（S_n）_max=S₁=3-

4-6

2

=4，
∵对于一切n∈N^*，S_n＜M恒成立，
∴M＞（S_n）_max=4，
∴最小的正整数M的值为4．

点评：本题考查数列通项公式的求法和数列前n项和的计算，探索对于一切n∈N^*，S_n＜M恒成立，求最小的正整数M的值．综合性强，难度大，有一定的探索性，对数学思维能力要求较高，是高考的重点．解题时要认真审题，仔细解答．