Question

11．已知函数f（x）=|x-a|．
（1）若f（x）＞m（m＞0）的解集为x∈（-∞，1）∪（7，+∞），求实数a，m的值；
（2）当a=-1时，当x≤-2时，不等式f（x）+t≥f（x+2）恒成立，求t的取值范围．

Answer 1

分析 （1）先求出不等式的解集，再根据f（x）＞m（m＞0）的解集为x∈（-∞，1）∪（7，+∞），即可求出a，m的值，
（2）f（x）+t≥f（x+2）恒成立，得到f（x）_min+t≥f（x+2）_max，分别根据函数的性质求出最值即可．

解答 解：（1）f（x）=|x-a|=$\left\{\begin{array}{l}{x-a，x≥a}\\{-x+a，x＜a}\end{array}\right.$
当x≥a时，x-a＞m，即x＞a+m，
当x＜a时，-x+a＞m，即x＜a-m，
∵f（x）＞m（m＞0）的解集为x∈（-∞，1）∪（7，+∞），
∴$\left\{\begin{array}{l}{a+m=7}\\{a-m=1}\end{array}\right.$，
解得a=4，m=3，
（2）当a=-1时，f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{x+1，x≥-1}\\{-x-1，x＜-1}\end{array}\right.$，
当x≤-2时，f（x）=-x-1，函数为减函数，故f（x）_min=f（-2）=2-1=1，
当x≤-2时，则（x+2）≤0，
∴f（x+2）=$\left\{\begin{array}{l}{x+3，-3≤x≤-2}\\{-x-3，x＜-3}\end{array}\right.$，
由于当-3≤x≤-2时，函数f（x+2）为增函数，故f（x+2）_max=f（-2）=1，
由于当x＜3时，函数f（x+2）为减函数，故f（x+2）_max=f（-3）=0，
故函数f（x+2）_max=1，
∵不等式f（x）+t≥f（x+2）恒成立，
∴1+t≥1，
解得t≥0，
故t的取值范围为[0，+∞）．

点评 本题考查了绝对值不等式的解法以及求能成立问题参数范围；关键是转化的思想应用．