Question

设函数y=f（x）在区间（a，b）上的导函数为f′（x），f′（x）在区间（a，b）上的导函数为f″（x），若在区间（a，b）上f″（x）＜0恒成立，则称函数f（x）在区间（a，b）“凸函数“；已知f（x）=

1

12

x⁴-

m

6

x³-

3

2

x²在（1，3）上为“凸函数”，则实数取值范围是（　　）

• A、（-∞，

  31

  9

  ）
• B、[

  31

  9

  ，5]
• C、（-∞，-2）
• D、[2，+∞）

Answer 1

考点：利用导数研究函数的单调性

专题：导数的综合应用

分析：函数在区间（1，3）上为“凸函数”，所以f″（x）＜0，即对函数y=f（x）二次求导，转化为不等式问题解决即可；

解答： 解：∵f（x）=

1

12

x⁴-

m

6

x³-

3

2

x²，
∴f′（x）=

1

3

x³-

m

2

x²-3x，
∴f″（x）=x²-mx-3，
∵f（x）为区间（1，3）上的“凸函数”，则有f″（x）=x²-mx-3＜0在区间（1，3）上恒成立，
∴

f″(1)≤0 f″(3)≤0

，
解得m≥2
故选：D．

点评：本题考查函数的导数与不等式恒成立问题的解法，关键是要理解题目所给信息（新定义），考查知识迁移与转化能力，属于中档题．