Question

（14分）如图，公园有一块边长为2的等边△ABC的边角地，现修成草坪，图中DE把草坪分成面积相等的两部分，D在AB上，E在AC上.

（1）设AD＝x(x≥1)，ED＝y，求用x表示y的函数关系式；

（2）如果DE是灌溉水管，为节约成本，希望它最短，DE的位置

应在哪里？如果DE是参观线路，则希望它最长，DE的位置

又应在哪里？请予证明.

 

Answer 1

【答案】

 

(1) y＝(1≤x≤2).

(2) y _max＝.即DE为AB中线或AC中线时，DE最长

【解析】(1)在△ADE中，y²＝x²＋AE²－2x·AE·cos60°y²＝x²＋AE²－x·AE,①

又S_△ADE＝ S_△ABC＝a²＝x·AE·sin60°x·AE＝2.②

②代入①得y²＝x²＋－2(y＞0),

∴y＝(1≤x≤2).

(2)如果DE是水管y＝≥,

当且仅当x²＝，即x＝时“＝”成立，故DE∥BC，且DE＝.

如果DE是参观线路，记f(x)＝x²＋，可知函数在[1，]上递减，

在[，2]上递增，故f(x) _max＝f(1)＝f(2)＝5.

∴y _max＝.即DE为AB中线或AC中线时，DE最长.