Question

已知椭圆C₁，抛物线C₂的焦点均在y轴上，C₁的中心和C₂ 的顶点均为坐标原点O，从每条曲线上取两个点，将其坐标记录于下表中：

x	0	-1	2	4
y	-2 2	1 16	-2	1

（Ⅰ）求分别适合C₁，C₂的方程的点的坐标；
（Ⅱ）求C₁，C₂的标准方程．

Answer 1

分析：（Ⅰ）抛物线方程可设为x²=my，将（4，1）和（-1，

1

16

）代入抛物线方程得到的解相同，可得抛物线方程，从而可知另外两点在椭圆C₁上；
（Ⅱ）由（Ⅰ）知抛物线方程，设出椭圆方程，代入另外两点坐标，即可求出椭圆方程．

解答：解：（Ⅰ）椭圆C₁，抛物线C₂的焦点均在y轴上，
∴抛物线方程可设为x²=my，
将（4，1）和（-1，

1

16

）代入抛物线方程得到的解相同，且m=16；
∴（0，-2

2

）和（

2

，-2）在椭圆C₁上；
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，抛物线方程为x²=16y．
设椭圆C₁的标准方程为：

y2

a2

+

x2

b2

=1(a＞b＞0)，
将（0，-2

2

）和（

2

，-2）代入可得a=2

2

，b=2，
∴椭圆C₁的标准方程为

y2

8

+

x2

4

=1．

点评：本题考查椭圆、抛物线的方程，考查学生的计算能力，正确设出抛物线、椭圆的方程是关键．