Question

（2013•江门二模）已知椭圆C₁和抛物线C₂有公共焦点F（1，0），C₁的中心和C₂的顶点都在坐标原点，直线l过点M（4，0）．
（1）写出抛物线C₂的标准方程；
（2）若坐标原点O关于直线l的对称点P在抛物线C₂上，直线l与椭圆C₁有公共点，求椭圆C₁C的长轴长的最小值．

Answer 1

分析：（1）利用抛物线的标准方程中的p与焦点的关系即可得到

p

2

=1即可得到抛物线的方程；
（2）设p（m，n），利用中点坐标公式可得OP中点为(

m

2

，

n

2

)．由于O、P两点关于直线y=k（x-4）对称，利用轴对称的性质可得

n 2 =k( m 2 -4) n m •k=-1

，即可解出m，n，代人抛物线的方程可得k的值，再把直线l的方程y=k（x-4）与椭圆的方程联立消去一个未知数，得到关于另一个未知数的一元二次方程，由于有公共点，可得△≥0，即可得到a的取值范围，进而得到椭圆长轴长的最小值．

解答：解：（1）由题意，抛物线C₂的焦点F（1，0），则

p

2

=1，的p=2．
所以方程为：y²=4x．
（2）设p（m，n），
则OP中点为(

m

2

，

n

2

)，
因为O、P两点关于直线
y=k（x-4）对称，
所以

n 2 =k( m 2 -4) n m •k=-1

即

km-n=8k m+nk=0

，解之得

m= 8k2 1+k2 n= -8k 1+k2

，
将其代入抛物线方程，得：(-

8k

1+k2

)2=4×

8k2

1+k2

，所以k²=1
联立 

y=k(x-4) x2 a2 + y2 b2 =1

，消去y，得：（b²+a²）x²-8a²x+16a²-a²b²=0，
由直线l与椭圆有公共点，∴△=（-8a²）²-4（b²+a²）（16a²-a²b²）≥0，得a²+b²≥16，
注意到b²=a²-1，即2a²≥17，解得2a≥

34

，
因此，椭圆C₁长轴长的最小值为

34

．

点评：题综合考查了椭圆与抛物线的标准方程及其性质、直线与圆锥曲线相交问题转化为方程联立得到根与系数的关系、斜率的计算公式、中点坐标公式、轴对称等基础知识，需要较强的推理能力和计算能力、分析问题和解决问题的能力．