Question

已知函数f（x），对任意的实数x满足f（x-2）=f（x+2），且当x∈[-1，3）时，f(x)=

2-|x|，(-1≤x≤1) k -x2+4x-3 ，(1＜x＜3)

，若直线y=

1

4

x与函数f（x）的图象有3个公共点，则实数k的取值范围为

-

35

4

＜k＜-

3

4

或

3

4

＜k＜

35

4

．

Answer 1

分析：确定函数的周期为4，分类讨论，作出函数的图象，k＞0时，问题转化为

1

4

x=k

-x2+4x-3

在（1，3）上有两个不等的实数根，

1

4

x=k

-(x-4)2+4(x-4)-3

在（5，7）上没有实数根，即可求得结论．

解答：解：∵对任意的实数x满足f（x-2）=f（x+2），∴f（x+4）=f（x），∴函数的周期为4
∵当x∈[-1，3）时，f(x)=

2-|x|，(-1≤x≤1) k -x2+4x-3 ，(1＜x＜3)

，
∴k＞0时，函数f（x）的图象如图所示

则

1

4

x=k

-x2+4x-3

在（1，3）上有两个不等的实数根，

1

4

x=k

-(x-4)2+4(x-4)-3

在（5，7）上没有实数根
即（

1

16k2

+1）x²-4x+3=0在（1，3）上有两个不等的实数根，（

1

16k2

+1）x²-12x+35=0在（5，7）上没有实数根

∴16-12（

1

16k2

+1）＞0且144-140（

1

16k2

+1）＜0
∵k＞0，∴

3

4

＜k＜

35

4

同理k＜0时，-

35

4

＜k＜-

3

4

故答案为：-

35

4

＜k＜-

3

4

或

3

4

＜k＜

35

4

点评：本题考查函数图象的交点，考查数形结合的数学思想，考查学生的计算能力，属于中档题．