Question

12．已知函数f（x）=$\frac{a}{a-1}$（2^x-2^-x）（a＞0，且a≠1）．
（1）判断函数f（x）的奇偶性和单调性，并说明理由；
（2）当x∈（-1，1）时，总有f（m-1）+f（m）＜0，求实数m的取值范围．

Answer 1

分析 （1）根据函数奇偶性和单调性的定义进行证明即可．
（2）根据函数奇偶性和单调性的关系将不等式进行转化求解即可．

解答 解：（1）∵f（-x）=$\frac{a}{a-1}$（2^-x-2^x）=-$\frac{a}{a-1}$（2^x-2^-x）=-f（x），
∴f（x）为奇函数．…（2分）
设x₁＜x₂，f（x₁）-f（x₂）=$\frac{a}{a-1}$（${2}^{{x}_{1}}$-$\frac{1}{{2}^{{x}_{1}}}$-${2}^{{x}_{2}}$+$\frac{1}{{2}^{{x}_{2}}}$）=$\frac{a}{a-1}$（${2}^{{x}_{1}}$-${2}^{{x}_{2}}$）（1+$\frac{1}{{2}^{{x}_{1}+{x}_{2}}}$），
∵y=2^x是增函数，∴${2}^{{x}_{1}}$-${2}^{{x}_{2}}$＜0，又1+$\frac{1}{{2}^{{x}_{1}+{x}_{2}}}$＞0，
∴当0＜a＜1时，f（x₁）-f（x₂）＞0，即f（x₁）＞f（x₂），函数f（x）是减函数
当a＞1时，f（x₁）-f（x₂）＜0，即f（x₁）＜f（x₂），函数f（x）是增函数．…（6分）
（2）由f（m-1）+f（m）＜0得f（m）＜-f（m-1）
由（1）知f（x）为奇函数，∴f（m）＜f（1-m） …（8分）
又由（1）得
当0＜a＜1时，函数f（x）是减函数
∴$\left\{\begin{array}{l}{m＞1-m}\\{-1＜m＜1}\\{-1＜1-m＜1}\end{array}\right.$解得$\frac{1}{2}$＜m＜1 …（10分）
当a＞1时，函数f（x）是增函数
∴$\left\{\begin{array}{l}{m＜1-m}\\{-1＜m＜1}\\{-1＜1-m＜1}\end{array}\right.$，解得0＜m＜$\frac{1}{2}$．…（12分）

点评 本题主要考查函数奇偶性和单调性的判断和应用，利用函数奇偶性和单调性的定义进行证明和转化是解决本题的关键．