Question

（2009•孝感模拟）已知f（x）=x³-3x，过点A（1，m） （m≠-2）可作曲线y=f（x）的三条切线，则实数m的取值范围是（　　）

A．（-1，1）

B．（-2，3）

C．（-1，2）

D．（-3，-2）

Answer 1

分析：先设切点坐标，用导数求出切线斜率，再用斜率公式求出切线斜率，两者相等，得到含m的方程，因为过点A（1，m） （m≠-2）可作曲线y=f（x）的三条切线，所以前面所求方程有3解，再借助导数判断何时方程有3解即可．

解答：解；设切点坐标（x₀，x₀³-3x），
∵f（x）=x³-3x，∴f′（x）=3x²-3
∴曲线y=f（x）在（x₀，x₀³-3x）处的切线斜率为3x₀²-3
又∵切线过点A（1，m），∴切线斜率为

x03-3x -m

x0-1

，
∴

x03-3x -m

x0-1

=3x₀²-3
即2x₀³-3x₀²+m+3=0  ①
∵过点A（1，m） （m≠-2）可作曲线y=f（x）的三条切线，
∴方程①有3解．
令ω（x₀）=2x₀³-3x₀²+m+3，则ω（x₀）图象与x轴有2个交点，∴ω（x₀）的极大值与极小值异号
ω′（x₀）=6x₀²-6x₀，令ω′（x₀）=0，得6x₀=0或1
∴ω（0）ω（1）＜0，即（m+3）（m+2）＜0
-3＜m＜-2
故选D

点评：本题主要考查了导数的几何意义，以及利用导数判断方程根的个数．