Question

已知各项均为正数的数列{a_n}满足

a

2 n+1

-a_n+1a_n-2

a

2 n

=0，n∈N﹡，且a₃+2是a₂，a₄的等差中项．
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）若b_n=a_nlog

1

2

an，S_n=b₁+b₂+…+b_n，求S_n的值．

Answer 1

分析：（1）对

a

2 n+1

-a_n+1a_n-2

a

2 n

=0的左边进行因式分解可得a_n+1-2a_n=0，从而可判断数列{a_n}是以2为公比的等比数列，利用等比数列的通项公式可求得a_n；
（2）由（1）求得b_n，利用错位相减法可求得S_n的值．

解答：解：（1）∵

a

2 n+1

-a_n+1a_n-2

a

2 n

=0，
∴（a_n+1+a_n）（a_n+1-2a_n）=0．

∵数列{a n}的各项均为正数

，∴a_n+1+a_n＞0，a_n+1-2a_n=0，即a_n+1=2a_n，
∴数列{a_n}是以2为公比的等比数列，
∵a₃+2是a₂，a₄的等差中项，∴a2+a4=2a3+4，
∴2a₁+8a₁=8a₁+4，解得a₁=4，
∴数列{a_n}的通项公式是an=2n；
（2）由（1）及b_n=a_nlog

1

2

an，得bn=-n•2n，
∵Sn=-2-2•22-3•23-…-n•2n，2Sn=-22-2•23-3•24-…-n•2n+1，
∴Sn=2+22+23+…+2n-n•2n+1=（1-n）•2ⁿ⁺¹-2．

点评：本题考查由数列递推式求数列通项、等比数列的通项公式及数列求和，考查学生的运算求解能力，错位相减法对数列求和是高考考查的重点内容，要熟练掌握．