Question

已知函数g（x）=asinx+bcosx+c
（1）当b=0时，求g（x）的值域；
（2）当a=1，c=0时，函数g（x）的图象关于对称，求函数y=bsinx+acosx的对称轴．
（3）若g（x）图象上有一个最低点，如果图象上每点纵坐标不变，横坐标缩短到原来的倍，然后向左平移1个单位可得y=f（x）的图象，又知f（x）=3的所有正根从小到大依次为x₁，x₂，x₃，…，x_n，…，且x_n-x_n-1=3（n≥2），求f（x）的解析式．

Answer 1

解：（1）当b=0时，函数g（x）=asinx+c．
当a=0时，值域为：{c}．
当a≠0时，值域为：[c-|a|，c+|a|]．
（2）当a=1，c=0时，
∵g（x）=sinx+bcosx 且图象关于x=对称，
∴||=，∴b=-．
∴函数 y=bsinx+acosx 即：y=-sinx+cosx= cos（x+）．
由 x+=kπ，k∈z，可得函数的对称轴为：x=kπ-，k∈z．
（3）由g（x）=asinx+bcosx+c= sin（x+∅）+c，其中，sin∅=，cos∅=．
由g（x）图象上有一个最低点 （，1），所以 ，
∴，
∴g（x）=（c-1）sin（x-）+c．
又图象上每点纵坐标不变，横坐标缩短到原来的倍，然后向左平移1个单位可得y=f（x）的图象，则f（x）=（c-1）sinx+c．
又∵f（x）=3的所有正根从小到大依次为 x₁、x₂、x₃…x_n、…，且 x_n-x_n-1=3 （n≥2 ），
所以y=f（x）与直线y=3的相邻交点间的距离相等，根据三角函数的图象与性质，直线y=3要么过f（x）的最高点或最低点，要么是y=，
即：2c-1=3或 1-c+c=3（矛盾）或 =3，解得c=2 或 c=3．
当c=2时，函数的 f（x）=sin+2，T=6．
直线 y=3和 f（x）=sin+2相交，且 x_n-x_n-1=3 （n≥2 ），周期为3（矛盾）．
当c=3时，函数 f（x）=2sin+3，T=6．
直线直线 y=3和 f（x）=2sin+3相交，且 x_n-x_n-1=3 （n≥2 ），周期为6（满足条件）．
综上：f（x）=2sin+2．
分析：（1）当b=0时，函数g（x）=asinx+c，分a=0和a≠0两种情况，分别求出函数g（x）的值域．
（2）当a=1，c=0时，由 g（x）=sinx+bcosx，且图象关于x=对称，求出b的值，可得函数 y=cos（x+），由 x+=kπ，k∈z，求出x的解析式，即可得到函数的对称轴方程．
（3）由g（x）图象上有一个最低点 （，1），求得g（x）=（c-1）sin（x-）+c．再由函数图象的变换规律求得f（x）=（c-1）sinx+c．由题意可得，直线y=3要么过f（x）的最高点或最低点，或过f（x）的对称中心．分别求出c的值，再检验得出结论．
点评：本题主要考查两角和差的正弦公式的应用，正弦函数的对称性，y=Asin（ωx+∅）的图象变换规律，属于中档题．