Question

已知函数g（x）=x³-3ax²-3t²+t（t＞0）
（1）求函数g（x）的单调区间；
（2）曲线y=g（x）在点M（a，g（a））和N（b，g（b））（a＜b）处的切线都与y轴垂直，若方程g（x）=0在区间[a，b]上有解，求实数t的取值范围．

Answer 1

分析：（1）求导，令f′（x）＞0，令f′（x）＜0分别得x的取值范围，即为f（x）的单调区间．
（2）由曲线y=g（x）在点M和N处的切线都与y轴垂直，知g′（a）=g′（b）=0，得a，b，又方程g（x）=0在区间[a，b]上有解，知曲线g（x）在区间[0，2t]上与x轴相交，由（1）知g（x）在[0，2t]上单调，可得g（0）g（2t）≤0，解不等式得实数t的取值范围．

解答：解：（1）由g'（x）=3x²-6tx＞0和g′（x）=3x²-6tx＜0（t＞0）
知g（x）在（-∞，0）和（2t，+∞）上是增函数，
g（x）在（0，2t）上是减函数
即g（x）单调递增区间为（-∞，0）和（2t，+∞），
g（x）单调递减区间为（0，2t）．（6分）
（2）由曲线y=g（x）在点M（a，g（a））和N（b，g（b））（a＜b）处的切线都与y轴垂直知，
g′（a）=g′（b）=0，又a＜b，所以a=0，b=2t，
若方程g（x）=0在区间[a，b]上有解，即曲线g（x）在区间[0，2t]上与x轴相交，
又g（x）在[0，2t]上单调，所以g（0）g（2t）≤0，
即t²（3t-1）（4t²+3t-1）≤0，
得t∈[

1

4

，

1

3

]．（12分）

点评：本题考查了利用导数求函数的极值、导数几何意义等知识点；注意把方程解的个数问题转化为对应函数图象的交点个数问题，可使问题直观易懂．