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已知函数g(x)=ax2-2ax+1+b(a>0),在区间[2,3]上有最大值4,最小值1,设函数f(x)=
g(x)
x

(1)求a、b的值; 
(2)当
1
2
≤x≤2
时,求函数f(x)的值域;
(3)若不等式f(2x)-k≥0在x∈[-1,1]上恒成立,求k的取值范围.
分析:(1)由函数g(x)的对称轴可知其在[2,3]上的单调性,根据单调性可表示出g(x)的最大、最小值,分别令其等于4,1可得方程组,解出即可;
(2)先由(1)得到函数f(x),利用导数可判断f(x)在[
1
2
,2]上的单调性,据单调性可得函数的最大值、最小值,从而得值域;
(3)f(2x)-k≥0在x∈[-1,1]上恒成立,等价于f(x)min≥k在[
1
2
,2]上恒成立,借助(2)问可得答案;
解答:解:(1)由于函数g(x)的对称轴为直线x=1,a>0,
所以g(x)在[2,3]上单调递增,
g(2)=1
g(3)=4
,即
4a-4a+1+b=1
9a-6a+1+b=4
,解得a=1,b=0;
(2)由(1)知,f(x)=x+
1
x
-2,f′(x)=1-
1
x2

当x∈[
1
2
,1)
时,f′(x)<0,当x∈(1,2]时,f′(x)>0,
所以f(x)在[
1
2
,1)上单调递减,在(1,2]上单调递增,
当x=1时f(x)取得最小值,当x=
1
2
或x=2时f(x)取得最大值,
f(x)min=0,f(x)max=
1
2
,其值域为[0,
1
2
];
(3)因为x∈[-1,1],所以2x∈[
1
2
,2]

f(2x)-k≥0在x∈[-1,1]上恒成立,等价于f(x)min≥k在[
1
2
,2]上恒成立,
由(2)知,k≤0;
点评:本题考查二次函数的性质、复合函数的单调性,利用导数求函数的最值等知识,考查学生综合运用知识分析解决问题的能力.
练习册系列答案
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已知函数g(x)=x3-3ax2-3t2+t(t>0)
(1)求函数g(x)的单调区间;
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已知函数f(x)=
a+lnx
x
,且f(x)+g(x)=
(x+1)lnx
x

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3
2
,求实数a的值.

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(2013•济宁二模)已知函数g(x)=
x
lnx
,f(x)=g(x)-ax(a>0).
(I)求函数g(x)的单调区间;
(Ⅱ)若函数f(x)在(1,+∞)上是减函数,求实数a的最小值;
(Ⅲ)当a≥
1
4
时,若?x1,x2∈[e,e2]使f(x1)≤f′(x2)+a成立,求实数a的取值范围.

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