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(2012•深圳一模)已知函数f(x)=
1
3
x3+bx2+cx+d
,设曲线y=f(x)在与x轴交点处的切线为y=4x-12,f′(x)为f(x)的导函数,且满足f′(2-x)=f′(x).
(1)求f(x);
(2)设g(x)=x
f′(x)
 , m>0
,求函数g(x)在[0,m]上的最大值;
(3)设h(x)=lnf′(x),若对一切x∈[0,1],不等式h(x+1-t)<h(2x+2)恒成立,求实数t的取值范围.
分析:(1)求导数,利用f′(2-x)=f′(x),可求b的值;利用曲线y=f(x)在与x轴交点处的切线为y=4x-12,可求a,c,d的值,从而可得函数解析式;
(2)确定函数解析式,分类讨论,可求函数g(x)在[0,m]上的最大值;
(3)求出函数h(x),再将不等式转化为具体不等式,利用最值法,即可求得实数t的取值范围.
解答:解:(1)求导数可得f′(x)=x2+2bx+c
∵f′(2-x)=f′(x),∴f′(x)关于x=1对称,∴b=-1
与x轴交点处的切线为y=4x-12,设交点为(a,0),则f(a)=0,f′(a)=4
∴在(a,0)处的切线为:y=4(x-a)+0=4x-4a=4x-12,∴4a=12,∴a=3
由f'(3)=9-6+c=3+c=4得:c=1
由f(3)=
1
3
×27-32+3+d=0得:d=-3
所以有:f(x)=
1
3
x3-x
2+x-3
(2)g(x)=x
f′(x)
=x|x-1|
当x≥1时,g(x)=x(x-1)=x2-x=(x-
1
2
2-
1
4
,函数为增函数
x<1时,g(x)=-x2+x=-(x-
1
2
2+
1
4
,最大为g(
1
2
)=
1
4

比较g(m)=m(m-1)与
1
4
得:m≥
1+
2
2
时,m(m-1)≥
1
4

因此,0<m
1
2
时,g(x)的最大值为m-m2
1
2
<m≤
1+
2
2
时,g(x)的最大值为
1
4

m>
1+
2
2
时,g(x)最大值为m2-m
(3)h(x)=lnf′(x)=ln(x-1)2
当x∈[0,1]时,h(x)=2ln(1-x)
此时不等式h(x+1-t)<h(2x+2)恒成立
则有2ln(t-x)<2ln(-2x-1)
∴0<t-x<-2x-1,
可得t>x且t<-x-1,
又由x∈[0,1],
则有-1<t<0
点评:本题考查导数知识的运用,考查函数的解析式,考查函数的最值,考查恒成立问题,确定函数的解析式是关键.
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休闲方式
性别
看电视 看书 合计
10 50 60
10 10 20
合计 20 60 80
(1)将此样本的频率估计为总体的概率,随机调查3名在该社区的男性,设调查的3人在这一时间段以看书为休闲方式的人数为随机变量X,求X的分布列和期望;
(2)根据以上数据,能否有99%的把握认为“在20:00-22:00时间段的休闲方式与性别有关系”?
参考公式:K2=
n(ad-bc)2
(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)
,其中n=a+b+c+d
参考数据:
P(K2≥K0 0.15 0.10 0.05 0.025 0.010
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x
-
1
3x
)6
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25
9
25
9

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2
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1
2
an+1=
an
enan+e
,n∈N*
(其中e为自然对数的底数).
(1)求数列{an}的通项an
(2)设Sn=a1+a2+…+an,Tn=a1•a2•a3•…•an,求证:Sn
n
n+1
Tne-n2

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