Question

直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，AC=BC=BB1=1，AB=

2

．
（1）求证：AC⊥平面B₁CB；
（2）求三棱锥B₁-ABC的体积．

Answer 1

分析：（1）要证AC⊥平面B₁CB，根据线面垂直的判定定理，及已知条件可证BB₁⊥AC，AC⊥BC，从而可得AC⊥平面B₁CB；
（2）由（1）可知BB₁⊥平面ABC，故考虑利用VB1-ABC =

1

3

×

1

2

×AC×BC×BB1进行求解即可．

解答：解：（1）直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，BB₁⊥底面ABC，
则BB₁⊥AB，BB₁⊥BC，
又由于AC=BC=BB₁=1，AB₁=

2

，则AB=

2

则由AC²+BC²=AB²可知，AC⊥BC，
又由上BB₁⊥底面ABC可知BB₁⊥AC，
则AC⊥平面B₁CB；
（2）由于在直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，BB₁⊥平面ABC，
故三棱锥B₁-ABC的体积VB1-ABC =

1

3

×

1

2

×AC×BC×BB1=

1

6

．

点评：本题主要考查了线线垂直、线面垂直、面面垂直的相互转化，利用换顶点求解三棱锥的体积，这是高考在立体几何（尤其文科）的考查重点．