Question

如图，在直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，∠BAC=90°，AB=BB₁=a，直线B₁C与平面ABC成30°角．
（1）求证：平面B₁AC⊥平面ABB₁A₁；   
（2）求C₁到平面B₁AC的距离；   
（3）求三棱锥A₁-AB₁C的体积．

Answer 1

分析：（1）由直三棱柱性质，B₁B⊥平面ABC，AC?平面ABC，根据线面垂直的性质可知B₁B⊥AC，又BA⊥AC，B₁B∩BA=B，根据线面垂直的判定可知可知AC⊥平面 ABB₁A₁，又AC?平面B₁AC，根据面面垂直的判定定理可得结论；
（2）根据A₁C₁∥AC，A₁C₁?平面B₁AC，AC?平面B₁AC，满足线面平行的判定定理，则A₁C₁∥平面B₁AC，则C₁到平面B₁AC的距离就是求A₁到平面B₁AC的距离，过A₁做A₁M⊥B₁A₁，垂足为M，连接CM，根据面面垂直的性质可知A₁M⊥平面B₁AC，求出A₁M即为所求；
（3）根据直线B₁C与平面ABC成30°则∠B₁CB=30°，可得B₁C=2a，BC=

3

a，然后根据VA1-AB1C=VB1-ABC，从而求出所求．

解答：解：（1）证明：由直三棱柱性质，B₁B⊥平面ABC，AC?平面ABC
∴B₁B⊥AC，
又BA⊥AC，B₁B∩BA=B，
∴AC⊥平面 ABB₁A₁，
又AC?平面B₁AC，
∴平面B₁AC⊥平面ABB₁A₁．
（2）解：∵A₁C₁∥AC，A₁C₁?平面B₁AC，AC?平面B₁AC
∴A₁C₁∥平面B₁AC
∴C₁到平面B₁AC的距离就是求A₁到平面B₁AC的距离
过A₁做A₁M⊥B₁A₁，垂足为M，连接CM，
∵平面B₁AC⊥平面ABB₁A，且平面B₁AC∩平面ABB₁A₁=B₁A，
∴A₁M⊥平面B₁AC．
从而A₁C=

3

a，又A₁M=

2

2

a，sinA₁CM=

A1M

A1C

=

6

6

∴C₁到平面B₁AC的距离为

2

2

（3）解：∵直线B₁C与平面ABC成30°角，
∴∠B₁CB=30°．
可得B₁C=2a，BC=

3

a，
∴VA1-AB1C=VB1-ABC=

1

3

× 

1

2

×a×

2

a×a=

2

6

a3

点评：本题主要考查了面面垂直的判定，以及点到平面距离的度量和三棱锥体积的计算，同时考查了转化的数学思想，属于中档题．