Question

（本小题满分14分）如图，已知四棱锥的底面是矩形，、分别是、的中点，底面，，

（1）求证：平面

（2）求二面角的余弦值

 

 

 

 

Answer 1

【答案】

（1）以点为原点，为轴，为轴，为轴的空间直角坐标系，如图所示．则依题意可知相关各点的坐标分别是：，，，，如下图所示．……………………………………………………………………………（2分）

 

所以点的坐标分别为

…………………………………………（3分）

所以，，......................... （4分）

因为，所以．......................... （6分）

又因为，所以.............. （7分）

所以平面．.......................................................... （8分）

（2）设平面的法向量，则，........................ （9分）

所以

即............................................................. （10分）

所以

令，则

显然，就是平面的法向量．.................................. （11分）

所以.................... （12分）

由图形知，二面角是钝角二面角........................................ （13分）

所以二面角的余弦值为．......................................... （14分）

 

 

 

 

 

 

 

解：（1）取的中点，连接，则

，又，所以四点共面.

因为，且.......... （2分）]

所以.

又因为，

所以平面..................... （4分）

所以

所以平面................... （6分）

易证

所以平面．.................. （8分）

（2）连接，则

所以.............................................................. （9分）

同（1）可证明平面.

所以，且平面平面.

明显，所以........................................... （10分）

过作，垂足为，则平面.

连接，则......................................................... （11分）

因为，

所以平面，

为二面角平面角的补角. ....................................... （12分）

在中，，所以.

在中，

所以........................................................... （13分）

所以二面角的余弦值为．......................................... （14分）

 

【解析】略