Question

若函数y=f（x）是函数y=a^x（0＜a≠1）的反函数，其图象过点(

a

，a)，且函数y=-f(x+

m

x

-3)在区间（2，+∞）上是增函数，则正数m的取值范围是

 

．

Answer 1

分析：由条件求得f（x）=log

1

2

x，结合题意可得函数t=log

1

2

(x+

m

x

-3)在区间（2，+∞）上是减函数．再根据x+

m

x

-3在区间（2，+∞）上大于零，且x+

m

x

-3在（

m

，+∞）是增函数，可得

m ≤2 2+ m 2 -3≥0

，由此解得m的范围．

解答：解：由题意可得函数y=f（x）=log_ax，再根据其图象过点(

a

，a)，
可得loga

a

=a，即a=

1

2

，∴f（x）=log

1

2

x．
∵函数y=-f(x+

m

x

-3)在区间（2，+∞）上是增函数，且-f（x+

m

x

-3）=-log

1

2

(x+

m

x

-3)，
∴函数t=log

1

2

(x+

m

x

-3)在区间（2，+∞）上是减函数，故x+

m

x

-3在区间（2，+∞）上是增函数．
再根据x+

m

x

-3在区间（2，+∞）上大于零，且x+

m

x

-3在（

m

，+∞）是增函数，
可得

m ≤2 2+ m 2 -3≥0

，解得2≤m≤4，
故答案为[2，4]．

点评：本题主要考查求反函数，函数的单调性的性质，体现了转化的数学思想，属于中档题．