Question

某旅游景点2011年利润为100万元，因市场竞争，若不开发新项目，预测从2012年起每年利润比上一年减少4万元，2012年初，该景点一次性投入90万元开发新项目，预测在未扣除开发所投入资金的情况下，第n年（n为正整数，2012年为第1年）的利润为100（1+

1

3n

）万元．
（Ⅰ）设从2012年起的前n年，该景点不开发新项目的累计利润为A万元，开发新项目的累计利润为B万元（须扣除开发所投入资金），求A，B的表达式；
（Ⅱ）依上述预测，该景点从第几年开始，开发新项目的累计利润超过不开发新项目的累计利润？

Answer 1

考点：函数模型的选择与应用

专题：函数的性质及应用,点列、递归数列与数学归纳法

分析：（1）根据题意得，A是首项为96，公差为-4的等差数列的前n项和；B是数列的前n项和与90的差；故可以求出A，B；
（2）由（1）知，求出B-A的表达式，解不等式即可．

解答： 解：（1）依题意，设A=A_n是首项为100-4=96，公差为-4的等差数列的前n项和，
所以，A_n=96n+

n(n-1)×(-4)

2

=98n-2n²；
数列100（1+

1

3n

）的前n项和为：100n+

100

3

•

1- 1 3n

1- 1 3

=100n+50（1-

1

3n

），
∴B=B_n=100n+50（1-

1

3n

）-90=100n-40-

50

3n

；
（2）由（1）得，B-A=B_n-A_n=100n-40-

50

3n

-（98n-2n²）=2n²+2n-40-

50

3n

；
则B-A=B_n-A_n是数集N^*上的单调递增数列，
n=4时，B_n-A_n＜0，当n=5时，B_n-A_n＞0；
故该景点从第5年开始，开发新项目的累计利润超过不开发新项目的累计利润所以从第5年开始，开发新项目的累计利润超过不开发新项目的累计利润．

点评：本题考查了等差数列，等比数列的概念以及前n项和公式的综合应用，在数列求和时，需要认真审题，仔细解答．