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(本小题满分12分)已知函数(I)求函数上的最小值;(II)求证:对一切,都有
【解】(I)f ′(x)=lnx+1,当x∈(0,),f ′(x)<0,f (x)单调递减,
当x∈(,+∞),f ′(x)>0,f (x)单调递增.              ……2分
①0<t<t+2<,t无解;②0<t<<t+2,即0<t<时,f (x)min=f ()=-
≤t<t+2,即t≥时,f (x)在[t,t+2]上单调递增,f (x)min=f (t)=tlnt;
所以f (x)min.                                          ……6分
(II)问题等价于证明xlnx>(x∈(0,+∞)),
由(I)可知f (x)=xlnx(x∈(0,+∞))的最小值是-,当且仅当x=时取到.
设m (x)=(x∈(0,+∞)),则m ′(x)=,易得m (x)max=m (1)=-,当且仅当x=1时取到,从而对一切x∈(0,+∞),都有lnx>.…12分
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,  
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