Question

如图，直线l与抛物线y²=x交于A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）两点，与x轴相交于点M，且y₁y₂=-1．
（1）求证：M点的坐标为（1，0）；
（2）求证：OA⊥OB；
（3）求△AOB的面积的最小值．

Answer 1

分析：（1）设出点M的坐标和直线l的方程，代入抛物线方程利用韦达定理求得x₀=-y₁y₂，进而求得x₀，则点M的坐标可得．
（2）利用y₁y₂=-1，求得x₁x₂+y₁y₂=0，进而判断出OA⊥OB．
（3）利用（1）中的方程根据韦达定理表示出y₁+y₂和y₁y₂，进而求得|y₁-y₂|的表达式，进而利用|OM|代入三角形面积公式求得三角形AOB的面积表达式，利用m的范围求得面积的最小值．

解答：解：（1）设M点的坐标为（x₀，0），直线l方程为x=my+x₀，
代入y²=x得y²-my-x₀=0①，
y₁，y₂是此方程的两根，
∴x₀=-y₁y₂=1，即M点的坐标为（1，0）．
（2）∵y₁y₂=-1，
∴x₁x₂+y₁y₂=y₁²y₂²+y₁y₂=y₁y₂（y₁y₂+1）=0
∴OA⊥OB．
（3）由方程①，y₁+y₂=m，y₁y₂=-1，且|OM|=x₀=1，
于是S△AOB=

1

2

|OM||y1-y2|=

1

2

(y1+y2)2-4y1y2

=

1

2

m2+4

≥1，
∴当m=0时，△AOB的面积取最小值1．

点评：本题主要考查了直线与圆锥曲线的综合问题．考查了基础知识综合理解和应用，方程与函数思想的运用．