Question

已知a，b为常数，且a≠0，函数f（x）=-ax+b+axlnx，f（e）=2
（1）求实数b的值；
（2）求函数f（x）的单调区间；
（3）当a=1时，直线y=t与曲线y=f（x）（x∈[

1

e

，e]））有公共点，求t的取值范围．

Answer 1

分析：（1）由f（e）=-ae+b+aelne=2，得b的值；
（2）先求导数fˊ（x）然后在函数的定义域内解不等式fˊ（x）＞0和fˊ（x）＜0，fˊ（x）＞0的区间为单调增区间，fˊ（x）＜0的区间为单调减区间；
（3）要使直线y=t与曲线y=f（x）（x∈[

1

e

，e]））有公共点，只需t在f（x）在区间[

1

e

，e]内值域内即可，再利用导数研究函数的最值即可求解．

解答：解：（1）由f（e）=-ae+b+aelne=2，得b=2．…（3分）
（2）由（1）知，f（x）=-ax+b+axlnx其定义域为（0，+∞）．…（4分）
从而f′（x）=alnx，因为a≠0，所以                …（5分）
①当a＞0时，由f′（x）=alnx＞0得x＞1．
由f′（x）=alnx＜0得0＜x＜1．
②当a＜0时，由f′（x）=alnx＞0得0＜x＜1由f′（x）=alnx＜0得x＞1．…（7分）
所以，当a＞0时，f（x）的单调增区间为（1，+∞），单调减区间为（0，1）．
当a＜0时，f（x）的单调增区间为（0，1），单调减区间为（1，+∞）．…（10分）
（3）当a=1时，f（x）=-x+2+xlnx．则f′（x）=lnx．
令f′（x）=lnx=0，则x=1．
当x在区间[

1

e

，e]内变化时，f′（x），f（x）的变化情况如下表：

x	1 e	（ 1 e ，1）	1	（1，e）	e
f′（x）		-	0	+
f（x）	2- 2 e	单调递减	极小值1	单调递增	2

因为2-

2

e

＜2，所以f（x）在区间[

1

e

，e]内值域为[1，2]．        …（13分）
∵直线y=t与曲线y=f（x）（x∈[

1

e

，e]）有公共点．
∴t的取值范围是[1，2]．…（14分）

点评：本题考查了函数的单调性，函数在某点取得极值的条件．利用导数判断函数的单调性的步骤是：（1）确定函数的定义域；（2）求导数fˊ（x）；（3）在函数的定义域内解不等式fˊ（x）＞0和fˊ（x）＜0；（4）确定函数的单调区间．若在函数式中含字母系数，往往要分类讨论．