Question

（2013•河东区二模）已知a，b为常数，且a≠0，函数f（x）=-ax+b+axlnx，f（e）=2（e=2.71828…是自然对数的底数）．
（1）求实数b的值；
（2）求函数f（x）的单调区间．

Answer 1

分析：（1）由f（e）=2计算可得b的值；
（2）由（1）可得f（x）=-ax+2+axlnx，故f′（x）=alnx，分类讨论：当a＞0，a＜0时，分别令f′（x）＞0，f′（x）＜0解不等式可得对应的单调区间．

解答：解：（1）由f（e）=2可得-ae+b+aelne=b=2，
故实数b的值为2；
（2）由（1）可得f（x）=-ax+2+axlnx，
故f′（x）=-a+alnx+ax•

1

x

=alnx，因为a≠0，
故①当a＞0时，由f′（x）＞0可得x＞1，由f′（x）＜0可得0＜x＜1；
②当a＜0时，由f′（x）＞0可得0＜x＜1，由f′（x）＜0可得x＞1；
综上可得：当a＞0时，函数f（x）的单调递增区间为（1，+∞），单调递减区间为（0，1）；
当a＜0时，函数f（x）的单调递增区间为（0，1），单调递减区间为（1，+∞），；

点评：本题考查利导数研究函数的单调性，涉及分类讨论的思想，属中档题．