Question

已知探照灯的轴截面是抛物线x＝y²，如图所示，表示平行于对称轴y＝0(即x轴)的光线于抛物线上的点P、Q的反射情况．设点P的纵坐标为a(a＞0)，则a取何值时，从入射点P到反射点Q的光线的路程PQ最短？

Answer 1

答案：
解析：

　　解：由题设知P点的坐标为(a²，a)，故直线PQ的方程为y＝(x－)，即4ax－(4a²－1)y－a＝0．

　　解方程组得y＝或y＝a．

　　由此可知，Q点的坐标是(，－)．

∴｜PQ｜＝｜PF｜＋｜FQ｜＝a²＋＋(a＞0)．

　　利用均值不等式．有｜PQ｜＝(a²＋)＋≥2＝1．当且仅当a²＝，即a＝时，上式等号成立．

　　∴入射点为(，)，反射点为(，－)时．路程PQ最短，这时P、Q恰好关于x轴对称，PQ为抛物线的通径．

　　分析：光源置于抛物镜面的焦点处，光线经抛物镜面反射成一束平行光线射出，这是抛物线的光学性质，因此入射光线与反射光线成平行状态，那么光线PQ必过抛物线y²＝x的焦点F(，0)，于是可解．

　　点评：本题利用抛物线的几何性质将买际问题转化为数学问题，然后又进一步运用抛物线的几何性质及不等式的性质求解．