Question

如图，已知直线l：x=my+1过椭圆的右焦点F，抛物线：的焦点为椭圆C的上顶点，且直线l交椭圆C于A、B两点，点A、F、B在直线g：x=4上的射影依次为点D、K、E．（1）椭圆C的方程；（2）直线l交y轴于点M，且，当m变化时，探求λ₁+λ₂的值是否为定值？若是，求出λ₁+λ₂的值，否则，说明理由；（3）接AE、BD，试证明当m变化时，直线AE与BD相交于定点．

 

Answer 1

【答案】

(1)

(2) 当m变化时，λ₁+λ₂的值为定值；

(3)当m变化时，AE与BD相交于定点

【解析】

试题分析：（1）知椭圆右焦点F（1，0），∴c=1，

抛物线的焦点坐标，∴∴b²=3

∴a²=b²+c²=4∴椭圆C的方程  4分

（2）知m≠0，且l与y轴交于，

设直线l交椭圆于A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）

由-  5分

∴△=（6m）²+36（3m²+4）=144（m²+1）＞0

∴  6分

又由

∴

同理-  7分

∴

∵

∴

所以，当m变化时，λ₁+λ₂的值为定值；  9分

（3）：由（2）A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），∴D（4，y₁），E（4，y₂）

方法1）∵   10分

当时，=

=  12分

∴点在直线l_AE上，  13分

同理可证，点也在直线l_BD上；

∴当m变化时，AE与BD相交于定点  14分

方法2）∵  10分

-  11分

=  12分

∴k_EN=k_AN∴A、N、E三点共线，

同理可得B、N、D也三点共线；  13分

∴当m变化时，AE与BD相交于定点．  14分

考点：椭圆的方程，直线与椭圆的位置关系

点评：解决的关键是对于椭圆的几何性质的表示，以及联立方程组的思想结合韦达定理来求解，属于基础题。