Question

函数f（x）=

cos2x+18

6+2cosx

（0≤x≤2π）的最小值为（　　）

• A．

  70

  -6
• B．-

  1

  6

• C．0
• D．

  19

  8

Answer 1

分析：先由f（x）=

cos2x+18

6+2cosx

，得f（x）=

2cos2x+17

6+2cosx

，再设6+2cosx=t，其中4≤t≤8．则有y=

1

2

t+

35

t

-6．根据函数单调性与导数的关系，需要求出导函数并令其等于零得到x的值，然后讨论函数的增减性来判断函数的极值，得到函数的最小值即可．

解答：解：由f（x）=

cos2x+18

6+2cosx

，得f（x）=

2cos2x+17

6+2cosx

，设6+2cosx=t，则4≤t≤8．
∴y=

1 2 t2-6t+35

t

=

1

2

t+

35

t

-6．
得y′=

1

2

-

35

t2

，
令y'=0，得t=

70

，当4≤t＜

70

时，f'（x）＜0，f（x）在[4，

70

）单调递减
∴f（x）在[4，8]单调递减
故函数y=

1

2

t+

35

t

-6在t=8时取得极小值，也是最小值
f（x）min=（

1

2

t+

35

t

-6）

|

t=8

=

19

8

．
故选D．

点评：本题考查了函数的导数运算，研究函数的最值问题．考查应用所学导数的知识、思想和方法解决实际问题的能力，建立函数式、解方程、不等式、最大值等基础知识．