Question

16．已知α∈（0，$\frac{π}{2}$），则$\frac{1}{si{n}^{2}α}$+$\frac{2}{co{s}^{2}α}$的最小值为（　　）

• A． 4$\sqrt{2}$
• B． 6
• C． 3+2$\sqrt{2}$
• D． $\frac{20}{3}$

Answer 1

分析 运用乘1法，可得$\frac{1}{si{n}^{2}α}$+$\frac{2}{co{s}^{2}α}$=（sin²α+cos²α）（$\frac{1}{si{n}^{2}α}$+$\frac{2}{co{s}^{2}α}$），化简整理，由基本不等式即可得到最小值．

解答 解：由于α∈（0，$\frac{π}{2}$），则sin²α，cos²α∈（0，1），
则$\frac{1}{si{n}^{2}α}$+$\frac{2}{co{s}^{2}α}$=（sin²α+cos²α）（$\frac{1}{si{n}^{2}α}$+$\frac{2}{co{s}^{2}α}$）
=3+$\frac{co{s}^{2}α}{si{n}^{2}α}$+$\frac{2si{n}^{2}α}{co{s}^{2}α}$≥3+2$\sqrt{\frac{co{s}^{2}α}{si{n}^{2}α}•\frac{2si{n}^{2}α}{co{s}^{2}α}}$
=3+2$\sqrt{2}$，
当且仅当$\frac{co{s}^{2}α}{si{n}^{2}α}$=$\frac{2si{n}^{2}α}{co{s}^{2}α}$即有cosα=$\sqrt{2}$sinα，取得最小值，
且为3+2$\sqrt{2}$．
故选：C．

点评 本题考查基本不等式的运用：求最值，注意运用乘1法，同时考查三角函数的化简，属于中档题．