Question

如图，已知PA⊥平面ABCD，AP=AB=BC=

1

2

AD=2，∠ABC=∠DAC=60°，M是AP的中点．
（1）求证；BM∥平面PCD；
（2）求PD与平面PAB所成角的余弦值．

Answer 1

考点：直线与平面所成的角,直线与平面平行的判定

专题：空间位置关系与距离

分析：（Ⅰ）由已知得△ABC为正三角形，从而四边形MNCB为平行四边形，进而BM∥CN，由此能证明BM∥平面PCD．
（Ⅱ）过点D作DO⊥BA，交BA的延长线于O，连结PO，则∠DPO是PD与平面PAB所成角，由此能求出PD与平面PAB所成角的余弦值．

解答： （Ⅰ）证明：∵AP=AB=BC=2，AD=4，∠ABC=∠DAC=60°，
∴△ABC为正三角形，
∴∠ABC+∠BAD=180°，∴BC∥AD，
设N是PD的中点，则MN

∥

.

1

2

AD，
又∵BC

∥

.

1

2

AD，∴MN

∥

.

BC，∴四边形MNCB为平行四边形，
∴BM∥CN，又BM?平面PCD，CN?平面PCD，
∴BM∥平面PCD．

（Ⅱ）解：过点D作DO⊥BA，交BA的延长线于O，
连结PO，又∵PA⊥平面ABCD，∴PA⊥DO，
∴DO⊥平面PAB，∴∠DPO是PD与平面PAB所成角，记为θ，
在Rt△PDO中，PD=2

5

，DO=2

3

，∠PDO=90°，∴PO=2

2

，
∴cosθ=

PO

PD

=

2 2

2 5

=

10

5

．
故PD与平面PAB所成角的余弦值为

10

5

．

点评：本题考查直线与平面平行的证明，考查直线与平面所成角的余弦值的求法，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养．