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    如果函数f（x）在区间D上是凸函数，那么对于区间D内的任意x1，x2，…，xn，都有
    f(x1)+f(x2)+…+f(xn)
    n
    ≤f（
    x1+x2+…+xn
    n
    ）．若y=sinx在区间（0，π）上是凸函数，那么在△ABC中，sinA+sinB+sinC的最大值是
    3
    		3
    2
    3
    		3
    2
    ．
    分析：依题意，y=sinx在区间（0，π）上是凸函数，则
    sinA+sinB+sinC
    3
    ≤sin
    π
    3
    ，从而可得答案．
    解答：解：∵y=sinx在区间（0，π）上是凸函数，且在△ABC中，A，B，C∈（0，π），A+B+C=π，
    ∴
    sinA+sinB+sinC
    3
    ≤sin
    A+B+C
    3
    =sin
    π
    3
    =
    		3
    2
    ，
    ∴sinA+sinB+sinC≤
    3
    		3
    2
    ．
    故答案为：
    3
    		3
    2
    ．
    点评：本题考查函数恒成立问题，理解新定义凸函数是难点，考查理解与转化的能力，属于中档题．
    练习册系列答案
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    科目：高中数学 来源： 题型：

    （2009•海珠区二模）已知f（x）=xlnx，g（x）=x3+ax2-x+2．
    （Ⅰ）如果函数g（x）的单调递减区间为(-
    13
    ，1)    ，求函数g（x）的解析式；
    （Ⅱ）在（Ⅰ）的条件下，求函数y=g（x）的图象在点P（-1，1）处的切线方程；
    （Ⅲ）若不等式2f（x）≤g′（x）+2恒成立，求实数a的取值范围．

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    科目：高中数学 来源： 题型：

    （2013•天河区三模）设f（x）是定义在区间（1，+∞）上的函数，其导函数为f'（x）．如果存在实数a和函数h（x），其中h（x）对任意的x∈（1，+∞）都有h（x）＞0，使得f'（x）=h（x）（x2-ax+1），则称函数f（x）具有性质P（a）．
    （1）设函数f(x)=Inx+
    b+2x+1
    (x＞1)    ，其中b为实数．
    （i）求证：函数f（x）具有性质P（b）；
    （ii）求函数f（x）的单调区间．
    （2）已知函数g（x）具有性质P（2），给定x1，x2∈（1，+∞），x1＜x2，设m为实数，a=mx1+（1-m）x2，β=（1-m）x1+mx2，且a＞1，β＞1，若|g（a）-g（β）|＜|g（x1）-g（x2）|，求m取值范围．

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    科目：高中数学 来源： 题型：

    （2012•顺义区二模）对于定义域为A的函数f（x），如果任意的x1，x2∈A，当x1＜x2时，都有f（x1）＜f（x2），则称函数f（x）是A上的严格增函数；函数f（k）是定义在N*上，函数值也在N*中的严格增函数，并且满足条件f（f（k））=3k．
    （Ⅰ）判断函数f（3x）=2×3x（x∈N）是否是N上的严格增函数；
    （Ⅱ）证明：f（3k）=3f（k）；
    （Ⅲ）是否存在正整数k，使得f（k）=2012，若存在求出k值；若不存在请说明理由．

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    科目：高中数学 来源： 题型：

    （2012•顺义区一模）对于定义域为A的函数f（x），如果任意的x1，x2∈A，当x1＜x2时，都有f（x1）＜f（x2），则称函数f（x）是A上的严格增函数；函数f（k）是定义在N*上，函数值也在N*中的严格增函数，并且满足条件f（f（k））=3k．
    （Ⅰ）证明：f（3k）=3f（k）；
    （Ⅱ）求f（3k-1）（k∈N*）的值；
    （Ⅲ）是否存在p个连续的自然数，使得它们的函数值依次也是连续的自然数；若存在，找出所有的p值，若不存在，请说明理由．

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    科目：高中数学 来源： 题型：

    （2011•武进区模拟）函数f(x)=
    1
    2
    ax2-bx-lnx    ，a＞0，f'（1）=0．
    （1）①试用含有a的式子表示b；②求f（x）的单调区间；
    （2）对于函数图象上的不同两点A（x1，y1），B（x2，y2），如果在函数图象上存在点P（x0，y0）（其中x0在x1与x2之间），使得点P处的切线l∥AB，则称AB存在“伴随切线”，当x0=
    x1+x2
    2
    时，又称AB存在“中值伴随切线”．试问：在函数f（x）的图象上是否存在两点A、B，使得AB存在“中值伴随切线”？若存在，求出A、B的坐标；若不存在，说明理由．

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