Question

已知cos(

π

4

+x)=

2

3

，

5π

4

＜x＜

7π

4

，求tanx的值．

Answer 1

分析：解法一：由条件求出cosx-sinx=

2

3

，平方可得2sinxcosx=

5

9

，再根据sinx、cosx的符号求出sinx+cosx的值，
解方程组求出sinx、cosx的值，即可求得tanx的值．
法二：由cos(

π

4

+x)=

2

3

，及角的范围求出sin(

π

4

+x)=-

7

3

，再利用同角三角函数的基本关系求出tan（x+

π

4

）
的值，利用两角和的正切公式解方程求得tanx的值．

解答：解：解法一：∵cos(

π

4

+x)=

2

3

，cosx-sinx=

2

3

，…①（2分）
即1-2sinxcosx=

4

9

，∴2sinxcosx=

5

9

，（4分）
∵

5π

4

＜x＜

7π

4

，∴sinx＜0，cosx＜0，（6分）
∴sinx+cosx=-

(cosx-sinx)2+4sinxcosx

=-

14

3

．…②（8分）
由①、②解得：sinx=-

14 +2

6

，cosx=-

14 -2

6

．（10分）
∴tanx=

sinx

cosx

=

- 14 +4 6

- 14 +2 6

=

9+2 14

5

．（12分）
法二：∵cos(

π

4

+x)=

2

3

，

3π

2

≤

π

4

+x≤2π，
∴sin(

π

4

+x)=-

7

3

，（4分）
∴tan(

π

4

+x)=

sin( π 4 +x)

cos( π 4 +x)

=

- 7 3

2 3

=-

14

2

．（8分）
即

1+tanx

1-tanx

=-

14

2

，解得tanx=

9+2 14

5

．（12分）

点评：本题主要考查同角三角函数的基本关系，两角和差的正切公式的应用，属于中档题．