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在△ABC中,已知|BC|=4,BC的中点在坐标原点,点B的坐标是(-2,0),AB⊥AC,
(1)求动点A的轨迹方程;
(2)若直线l:mx-y+2m-2=0与点A的轨迹恰有一个公共点,求m的值;
(3)若(2)中m的值是函数 f(x)=x2+sinα•x+n的零点,求tan(
2
-α)
的值.
分析:(1)通过直线的垂直得到斜率的乘积是-1,化简可得动点A的轨迹方程;
(2)利用图象推出直线l:mx-y+2m-2=0与点A的轨迹恰有一个公共点,直接求m的值;
(3)通过(2)中m的值是函数 f(x)=x2+sinα•x+n的零点,通过α所在象限直接求tan(
2
-α)
的值即可.
解答:精英家教网(14分)解:(1)由已知,C(2,0),设动点A的坐标为(x,y),
则直线AB、AC的斜率分别为kAB=
y
x+2
kAC=
y
x-2

∵AB⊥AC,kAC•kAB=-1
y
x+2
y
x-2
=-1,化简得x2+y2=4,由已知△ABC,有x≠±2,否则A、B、C共线,
∴动点的轨迹方程是:x2+y2=4(x≠±2).
(2)直线l的方程即为m(x+2)-(y+2)=0,则它经过定点P(-2,-2),
∵直线l:mx-y+2m-2=0与点A的轨迹恰有一个公共点,
∴直线l经过点C(2,0)或点D(0,-2)(如图所示)
∴m(2+2)-(0+2)=0或m(0+2)-(-2+2)=0
解得m=
1
2
或m=0…(9分)
(3)∵m的值都是函数 f(x)=x2+sinα•x+n的零点
1
2
和0是方程x2+sinα•x+n=0的解
1
2
+0=-sinα,故sinα=-
1
2
…(10分)
①当α是第三象限角时,cosα=-
1-sin2α
=-
1-(-
1
2
)
2
=-
3
2

tan(
2
-α)
=tan(
π
2
-α)
=
sin(
π
2
-α)
cos(
π
2
-α)
=
cosα
sinα
=
-
3
2
-
1
2
=
3
…(12分)
②当α是第四象限角时,cosα=
3
2

tan(
2
-α)
=
cosα
sinα
=
3
2
-
1
2
=-
3
…(14分).
点评:本题考查轨迹方程的求法,数形结合以及分类讨论思想的应用,考查分析问题解决问题的能力.
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