Question

如图：已知A，B是圆x²+y²=4与x轴的交点，P为直线l：x=4上的动点，PA，PB与圆x²+y²=4的另一个交点分别为M，N．
（1）若P点坐标为（4，6），求直线MN的方程；
（2）求证：直线MN过定点．

Answer 1

分析：（1）直线PA方程为y=x+2，由

y=x+2 x2+y2=4

解得M（0，2），直线PB的方程 y=3x-6，由

y=3x-6 x2+y2=4

解得 N（

8

5

，-

6

5

），用两点式求得MN的方程．
（2）设P（4，t），则直线PA的方程为 y=

t

6

（x+2），直线PB的方程为 y=

t

2

（x-2），解方程组求得M、N的坐标，从而得到MN的方程为y=

8t

12-t2

x-

8t

12-t2

，显然过定点（1，0）．

解答：解：（1）直线PA方程为y=x+2，由

y=x+2 x2+y2=4

 解得M（0，2），…（2分）
直线PB的方程 y=3x-6，由

y=3x-6 x2+y2=4

 解得 N（

8

5

，-

6

5

），…（4分）
用两点式求得MN的方程，并化简可得 y=-2x+2．…（6分）
（2）设P（4，t），则直线PA的方程为 y=

t

6

（x+2），直线PB的方程为 y=

t

2

（x-2）．
由

y= t 6 (x+2) x2+y2=4

 得 M（

72-2t2

36+t2

，

24t

36+t2

），同理 N（

2t2-8

t2+4

，

-8t

t2+4

）． …（10分）
直线MN的斜率 k=

24t 36+t2 -  -8t t2+4

72-2t2 36+t2 -  2t2-8 t2+4

=

8t

12-t2

…（12分）
直线MN的方程为 y=

8t

12-t2

（x-

2t2-8

t2+4

）-

8t

t2+4

，
化简得：y=

8t

12-t2

 x-

8t

12-t2

． …（14分）
所以直线MN过定点（1，0）．…（16分）

点评：本题主要考查直线过定点问题，求直线的方程，求两条直线的交点坐标，属于中档题．