Question

(1)已知数列{c_n}，其中c_n＝2ⁿ＋3ⁿ，且数列{c_n+1－pc_n}为等比数列，求常数p；

(2)设{a_n}、{b_n}是公比不相等的两个等比数列，c_n＝a_n＋b_n，证明数列{c_n}不是等比数列．

Answer 1

答案：
解析：

　　思路与技巧：本例中的两小题显然都是根据定义来处理，但又都有特点．如(1)这样的题一般都不是转化为＝常数，而是等价于a_n+1²＝a_n·a_n+2．

　　解答(1)∵{C_n+1－pc_n}为等比数列．

∴(c_n+2－pc_n+1)²＝(c_n+3－pc_n+2)(c_n+1－pc_n)

　　将c_n＝2ⁿ＋3ⁿ代入上式整理得

　　(2－p)(3－p)＝0，

　　∴p＝2或p＝3．

　　(2)设{a_n}{b_n}两个等比数列的公比分别为q₁，q₂且q₁≠q₂，

　　若{c_n}成等比数列，则＝c_nc_n+2即(a_n+1＋b_n+1)²＝(a_n＋b_n)(a_n+2＋b_n+2)

　　整理得2a_n+1b_n+1＝a_nb_n+2＋b_na_n+2即2q₁q₂＝＋

　　∴q₁＝q₂与q₁≠q₂矛盾，因此{c_n}不是等比数列．

　　通过上述解法可看到若{a_n}{b_n}成等比数列且公比相同则{a_n＋b_n}成等比数列；若{a_n}{b_n}成等比数列且公比不同，则{a_n＋b_n不构成等比数列．

　　评析：(1)中利用了“由一般到特殊”的思想；(2)证明数列成等比(或等差)数列可利用等比(或等差)数列的定义，或用等比(或等差)中项的概念；而证明数列不成等比(或等差)数列常常考虑反证法等．