Question

【题目】已知函数f（x）=x2+ax﹣lnx，a∈R
（1）若函数f（x）在[1，2]上是减函数，求实数a的取值范围
（2）令g（x）=f（x）﹣x2 ， 是否存在实数a，当x∈（0，e]时，函数g（x）的最小值是3？若存在，求出a的值，若不存在，说明理由
（3）当x∈（0，e]时，求证：e2x2﹣ x＞（x+1）lnx．

Answer 1

【答案】
（1）解：f′（x）=2x+a﹣ = ≤0在[1，2]上恒成立，

令h（x）=2x2+ax﹣1，

∴ ，解得：a≤﹣

（2）解：假设存在实数a，使得g（x）=f（x）﹣x2=ax﹣lnx，x∈（0，e]有最小值3，

g′（x）=a﹣ = ，

①0＜ ＜e，即a＞e时，令g′（x）＞0，解得：x＞ ，令g′（x）＜0，解得：0＜x＜ ，

∴函数g（x）在（0， ）递减，在（ ，e]递增，

∴g（x）min=g（ ）=1+lna=3，解得：a=e2，满足条件；

② ≥e，即a≤ 时，g′（x）＜0，g（x）在（0，e]单调递减，

∴g（x）min=g（e）=ae﹣1=3，解得：a= （舍去）；

综上，存在实数a=e2，使得x∈（0，e]时，函数g（x）有最小值3

（3）解：令F（x）=e2x﹣lnx，由（2）得：F（x）min=3，

令ω（x）= + ，ω′（x）= ，

当0＜x≤e时，ω′（x）≥0，ω（x）在（0，e]递增，

故e2x﹣lnx＞ + ，

即：e2x2﹣ x＞（x+1）lnx

【解析】（1）先求出函数f（x）的导数，得到不等式组，解出a的范围即可；（2）假设存在实数a，求出函数g（x）的导数，通过讨论g（x）的单调性，求出函数的最小值，从而求出a的值；（3）令F（x）=e2x﹣lnx，令ω（x）= + ，通过讨论它们的单调性得到e2x﹣lnx＞ + 即可．
【考点精析】认真审题，首先需要了解二次函数的性质(当时，抛物线开口向上，函数在上递减，在上递增；当时，抛物线开口向下，函数在上递增，在上递减)．