Question

【题目】已知函数.

（1）若函数的定义域为，求实数的取值范围；

（2）若函数的定义域为,且满足如下两个条件：①在内是单调递增函数；②存在，使得在上的值域为,那么就称函数为“希望函数”，若函数是“希望函数”，求实数的取值范围.

Answer 1

【答案】（1）；（2）.

【解析】

（1）由函数的定义域为，即恒成立，结合指数函数的性质，即可求解；

（2）根据题设得到函数在上的值域为，且函数是单调递增函数，由对数函数的性质，得到，转化为是的两个根，结合二次函数的性质，即可求解.

（1）由题意，函数的定义域为，即恒成立，

所以恒成立，因为，所以，所以的取值范围.

（2）因为函数是“希望函数”，

所以在上的值域为，且函数是单调递增函数，

所以，即，所以是的两个根，

设，

因为，所以有2个不等的正实数根，

所以且两根之积等于，解得

所以实数的取值范围是.