【题目】已知正项等比数列满足,,数列满足.
(1)求数列,的通项公式;
(2)令,求数列的前项和;
(3)若,且对所有的正整数都有成立,求的取值范围.
【答案】(1),;(2);(3).
【解析】
(1)设等比数列的公比为,则,根据条件可求出的值,利用等比数列的通项公式可求出,再由对数的运算可求出数列的通项公式;
(2)求出数列的通项公式,然后利用错位相减法求出数列的前项和为;
(3)利用数列单调性的定义求出数列最大项的值为,由题意得出关于的不等式对任意的恒成立,然后利用参变量分离法得出,并利用基本不等式求出在时的最小值,即可得出实数的取值范围.
(1)设等比数列的公比为,则,由可得,
,,即,,解得,.
;
(2)由(1)可得,
,
可得,
上式下式,得,
因此,;
(3),,
,,即,则有.
所以,数列是单调递减数列,则数列的最大项为.
由题意可知,关于的不等式对任意的恒成立,.
由基本不等式可得,当且仅当时,等号成立,
则在时的最小值为,,
因此,实数的取值范围是.
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【题目】已知函数.
(1)若函数的定义域为,求实数的取值范围;
(2)若函数的定义域为,且满足如下两个条件:①在内是单调递增函数;②存在,使得在上的值域为,那么就称函数为“希望函数”,若函数是“希望函数”,求实数的取值范围.
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【题目】某公司决定对旗下的某商品进行一次评估,该商品原来每件售价为25元,年销售8万件.
(1)据市场调查,若价格每提高1元,销售量将相应减少2000件,要使销售的总收入不低于原收入,该商品每件定价最多为多少元?
(2)为了抓住2022年冬奥会契机,扩大该商品的影响力,提高年销售量.公司决定立即对该商品进行全面技术革新和销售策略改革,并提高定价到元.公司拟投入万作为技改费用,投入50万元作为固定宣传费用,投入万元作为浮动宣传费用.试问:当该商品改革后的销售量至少达到多少万件时,才可能使改革后的销售收入不低于原收入与总投入之和?并求出此时商品的每件定价.
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【题目】已知函数f(x)=x2+bx+c,其图象与y轴的交点为(0,1),且满足f(1﹣x)=f(1+x).
(1)求f(x);
(2)设 ,m>0,求函数g(x)在[0,m]上的最大值;
(3)设h(x)=lnf(x),若对于一切x∈[0,1],不等式h(x+1﹣t)<h(2x+2)恒成立,求实数t的取值范围.
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【题目】如图,在平面直角坐标系中,已知椭圆 的离心率为,两条准线之间的距离为.
(1)求椭圆的标准方程;
(2)已知椭圆的左顶点为,点在圆上,直线与椭圆相交于另一点,且的面积是的面积的倍,求直线的方程.
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【题目】某调查机构对本市小学生课业负担情况进行了调查,设平均每人每天做作业的时间为分钟,有1200名小学生参加了此项调查,调查所得到的数据用程序框图处理(如图),若输出的结果是840,若用样本频率估计概率,则平均每天做作业的时间在0~60分钟内的学生的概率是( )
A. 0.32 B. 0.36 C. 0.7 D. 0.84
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【题目】(1)若函数f(x)=ax2-x-1有且仅有一个零点, 求实数a的值.
(2)若函数f(x)=|4x-x2|+a有4个零点,求实数a的取值范围.
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