Question

【题目】已知正项等比数列满足，，数列满足.

（1）求数列，的通项公式；

（2）令，求数列的前项和；

（3）若，且对所有的正整数都有成立，求的取值范围.

Answer 1

【答案】（1）,；（2）；（3）.

【解析】

（1）设等比数列的公比为，则，根据条件可求出的值，利用等比数列的通项公式可求出，再由对数的运算可求出数列的通项公式；

（2）求出数列的通项公式，然后利用错位相减法求出数列的前项和为；

（3）利用数列单调性的定义求出数列最大项的值为，由题意得出关于的不等式对任意的恒成立，然后利用参变量分离法得出，并利用基本不等式求出在时的最小值，即可得出实数的取值范围.

（1）设等比数列的公比为，则，由可得，

，，即，，解得，.

；

（2）由（1）可得，

，

可得，

上式下式，得，

因此，；

（3），，

，，即，则有.

所以，数列是单调递减数列，则数列的最大项为.

由题意可知，关于的不等式对任意的恒成立，.

由基本不等式可得，当且仅当时，等号成立，

则在时的最小值为，，

因此，实数的取值范围是.