Question

【题目】(1)若函数f(x)=ax2-x-1有且仅有一个零点, 求实数a的值.

(2)若函数f(x)=|4x-x2|+a有4个零点,求实数a的取值范围.

Answer 1

【答案】(1) a=0或a=.

（2）(-4,0).

【解析】分析：（1）当时，有唯一零点，符合题意；当时，有唯一零点，即有唯一解，则，综合可得答案；

（2）设，画出函数图象，数形结合可得实数的取值范围.

详解：(1)若a=0,则f(x)=-x-1,令f(x)=0,即-x-1=0,得x=-1,故符合题意;

若a≠0,则f(x)=ax2-x-1是二次函数,

故有且仅有一个零点等价于Δ=1+4a=0,

解得a=,

综上所述a=0或a=.

(2)若f(x)=|4x-x2|+a有4个零点,

即|4x-x2|+a=0有四个根,即|4x-x2|=-a有四个根.

令g(x)=|4x-x2|,h(x)=-a.

作出g(x)的图象,由图象可知如果要使|4x-x2|=-a有四个根,

那么g(x)与h(x)的图象应有4个交点.故需满足0<-a<4,即-4<a<0.

所以a的取值范围是(-4,0).