Question

【题目】已知函数，其中，为自然对数的底数.

（1）讨论的单调性；

（2）当时，求函数在上的最大值.

Answer 1

【答案】（1）见解析；（2）

【解析】分析：（1）求出导函数，对按和分类后可确定的正负，即得的单调区间；

（2）由（1）的极值点是，因此在时，函数在上单调递增，当时，可证（用导数的知识证明），然后比较和的大小，最终求得最大值．

详解：（1），．

当时，，则在上单调递增；

当时，令，得．

当时，，单调递减；当时，，单调递增．

综上，当时，在上单调递增；当时，在单调递减，在单调递增.

（2），令，则．

当时，，由（1）的结论可知函数在上单调递增,.

当时，，下证.事实上，令，

则.当时，，所以在为增函数，且

，即当时，恒成立.

由（1）的结论，知在单调递减,在单调递增.

所以在上的最大值等于．

设，则

令，易得，因为，且在恒成立，所以在单调递增，所以，即恒成立，所以在在上单调递增，所以在上成立，即.因此，当时，在上的最大值为．

综上所述，当时，.